Frühe mathematische Bildung: Modul 7: Daten, Häufigkeiten und Zufall
A. Mathematische Grundlagen
Wie in den vorherigen Beiträgen knüpfen auch die folgenden Erläuterungen an Beobachtungen aus dem pädagogischen Alltag an und entwickeln daraus die zugrunde liegenden mathematischen Zusammenhänge.
A.1 Ein Blick auf den Geburtstagskalender
Ein stets aktueller Geburtstagskalender sollte zur Grundausstattung jeder Kindertageseinrichtung gehören. Er vermittelt den Kindern Zugehörigkeit und macht deutlich: Jedes Kind ist ein wichtiger Teil der Gemeinschaft. Gleichzeitig eröffnet er vielfältige Anlässe für mathematische Bildungsprozesse.
Der Geburtstagskalender hängt gut sichtbar an der Wand. Unter jedem Monat stehen die Namen der Kinder, die in dieser Zeit Geburtstag haben. Die Fachkraft bleibt davor stehen und betrachtet den Kalender gemeinsam mit den Kindern einen Moment lang.
„Seltsam“, sagt sie schließlich. „Mir kommt es so vor, als hätten besonders viele Kinder im Sommer Geburtstag.“
Ein Kind schaut genauer hin. „Ja, im Juli und August sind viele.“
Ein anderes zeigt auf den März. „Im März sind es nur zwei, da habe ich Geburtstag.“
Die Fachkraft greift die unterschiedlichen Beobachtungen auf.
„Stimmt unsere Vermutung? Wie könnten wir herausfinden, ob das wirklich so ist?“
Die Kinder überlegen, schlagen das Zählen vor und beginnen, die Monate miteinander zu vergleichen. Dabei stellen sie fest, dass manche Monate häufiger vertreten sind als andere.
Im Alltag entstehen häufig solche Vermutungen. Um zu prüfen, ob sie zutreffen, werden Informationen gesammelt, geordnet und miteinander verglichen. Dies sind grundlegende Schritte statistischen Denkens.
Wenn Kinder Geburtstage zählen, Strichlisten anlegen und Häufigkeiten vergleichen, arbeiten sie bereits mit Daten. Sie erleben, wie aus einer Vermutung eine überprüfbare Frage und aus einzelnen Informationen ein begründeter Vergleich entsteht.
Die offene Frage der Fachkraft eröffnet den mathematischen Bildungsprozess: Die mathematische Frage gibt die Richtung vor, den Weg zur Antwort entwickeln Kinder und Fachkraft gemeinsam.
A.2 Wenn Vermutungen überprüft werden: Daten sichtbar machen und Häufigkeiten vergleichen
Die Kinder beginnen nun, die Geburtstage im Kalender genauer zu betrachten. Gemeinsam mit der Fachkraft zählen sie nach, wie viele Kinder in den einzelnen Monaten Geburtstag haben.
Dazu wurde eine einfache Monatsliste vorbereitet. Neben jedem Monatsnamen ist Platz für die Einträge. Für jeden Geburtstag setzen die Kinder einen Strich in die passende Zeile.
Für jeden Geburtstag wird ein Strich beim entsprechenden Monat gemacht. Nach und nach entsteht eine kleine Strichliste.
Im Januar 1 Strich, im Februar auch 1 Strich, im März 3 Striche, usw.
Nach und nach entsteht ein präziser Überblick. Jetzt lässt sich auf einen Blick erkennen, in welchen Monaten viele Kinder Geburtstag haben und in welchen weniger.
Die Kinder vergleichen die Monate miteinander.
„Hier sind mehr.“
„Hier sind weniger.“
„Im August sind wirklich viele.“
Dabei spielt es kaum eine Rolle, dass viele Kinder die Monatsnamen noch nicht genau lesen können. Wichtig sollte jedoch sein, dass jedes Kind seinen eigenen Geburtstag kennt und sich im Kalender wiederfindet.
Auf diese Weise entsteht ein Gruppenerlebnis: Jeder einzelne Geburtstag gehört zu einem Kind der Gruppe. Die Daten, die hier gesammelt werden, haben deshalb eine unmittelbare Bedeutung für alle.
Die einzelnen Geburtstage werden so zu Daten, die sichtbar gemacht und miteinander verglichen werden können. Gleichzeitig wird deutlich, wie oft etwas vorkommt.
In der Mathematik spricht man hier von Häufigkeiten.
Durch solche einfachen Darstellungen erkennen die Kinder, dass sich Vermutungen überprüfen lassen, wenn Informationen gesammelt, geordnet und miteinander verglichen werden. Die Begriffe Daten, Häufigkeiten und Zufall werden weiter unten fachlich eingeordnet.
A.3 Wenn Zufall sichtbar wird
Während die Kinder den Geburtstagskalender betrachten, fällt manchmal noch etwas anderes auf.
„Schau mal“, sagt ein Kind plötzlich.
„Die haben am gleichen Tag Geburtstag!“
Tatsächlich kommt es in vielen Gruppen vor, dass zwei Kinder am selben Tag Geburtstag haben.
Solche Übereinstimmungen entstehen ohne Planung. Niemand hat sie vorher festgelegt oder organisiert. Sie ergeben sich einfach daraus, dass viele Kinder in einer Gruppe zusammenkommen.
In der Mathematik spricht man in solchen Fällen von Zufall.
Solche Zufälle treten sogar häufiger auf, als man zunächst vermuten würde. Bereits in einer Gruppe von 23 Kindern liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei Kinder am gleichen Tag Geburtstag haben, bei über 50 Prozent.
Dieses Ergebnis überrascht zunächst. Bei Fragen des Zufalls täuscht uns unsere Intuition häufig. Das zeigt sich auch bei der Gewinnwahrscheinlichkeit im Lotto „6 aus 49“. Sie beträgt nur 1 zu 13.983.816. Ebenso schwer fällt es vielen Menschen, sich die überraschend hohe Wahrscheinlichkeit vorzustellen, dass in einer Kindergartengruppe zwei Kinder am selben Tag Geburtstag haben. Unsere Intuition führt uns bei Wahrscheinlichkeiten häufig an der Nase herum.
Für Kinder spielen solche genauen Wahrscheinlichkeitsangaben natürlich keine Rolle. Für sie ist jedoch wichtig zu erfahren, dass sie solche Zufälle im Alltag beobachten können.
A.4 Drei Fachbegriffe
Daten, Häufigkeiten und Zufall sind Begriffe, die im Handeln der Kinder und im obigen Text bereits ganz selbstverständlich verwendet wurden und deren Bedeutung auch intuitiv klar ist. Nun werden sie noch fachlich präzisiert.
Daten
Wenn die Kinder die Geburtstage im Kalender betrachten und zählen, entstehen zunächst einzelne Informationen (Wer hat im Januar Geburtstag? Wer im März?). Solche Informationen nennt man in der Mathematik Daten.
Häufigkeiten
Sobald die Kinder beginnen, die Monate miteinander zu vergleichen, verändert sich der Blick. Jetzt geht es nicht mehr darum, wer wann Geburtstag hat, sondern wie oft ein Geburtstag in einem Monat vorkommt. In der Mathematik spricht man hier von Häufigkeiten.
Zufall
Manchmal fällt den Kindern auf, dass zwei Kinder am gleichen Tag Geburtstag haben. Solche Übereinstimmungen entstehen ohne Planung (sie passieren einfach). In der Mathematik spricht man in solchen Fällen von Zufall.
Diese drei Begriffe stammen aus der Statistik (einem mathematischen Gebiet, das sich mit dem Sammeln, Ordnen und Auswerten von Daten beschäftigt). Die Statistik steht in enger Verbindung mit der Wahrscheinlichkeitstheorie (sie untersucht, mit welcher Wahrscheinlichkeit bestimmte Ereignisse eintreten). Beide Bereiche gehören zu den anspruchsvolleren Teilen der Mathematik. Erste Erfahrungen mit Daten, Häufigkeiten und Zufall sollten Kinder jedoch bereits im Alltag sammeln.
B. Praxispool
Die folgenden Praxisbeispiele zeigen, wie Daten, Häufigkeiten und Zufall aus alltäglichen Situationen der Kinder heraus entstehen und gemeinsam mathematisch erschlossen werden.
Wetter beobachten und Daten sammeln
Auch Wetterbeobachtungen bieten Kindern zahlreiche Anlässe, Daten zu sammeln und miteinander zu vergleichen.
Die Wetterstation von Wehrfritz verbindet Thermometer, Barometer, Hygrometer, Regenmesser und Wetterhahn in einem gemeinsamen Beobachtungsort
Diese Wetterstation ermöglicht es den Kindern, verschiedene Wettermerkmale über längere Zeit regelmäßig zu beobachten, zu dokumentieren und miteinander zu vergleichen.
„Heute zeigt die Windfahne nach da.“
„Gestern war es wärmer.“
„Diese Woche hat es noch nicht einmal geregnet.“
Aus einzelnen Beobachtungen entstehen nach und nach Daten. Erst über längere Zeit lassen sich Häufigkeiten erkennen und Veränderungen beschreiben. Die Kinder erleben dabei, dass eine einzelne Beobachtung oft wenig aussagt, viele Beobachtungen zusammen jedoch ein deutlich verlässlicheres Bild ergeben.
Schuhe vergleichen
Vom Datenwust zur Ordnung: Die Kinder entdecken Gemeinsamkeiten, bilden erste Gruppen und schaffen die Grundlage für das Vergleichen und Zählen.
Als die Kinder ihre Schuhe auf den Teppich legen, entsteht zunächst ein buntes Durcheinander. Unterschiedliche Farben, Formen, Größen und Verschlüsse liegen scheinbar ungeordnet nebeneinander. Auf den ersten Blick wirkt alles unübersichtlich.
Im gemeinsamen Gespräch beginnen die Kinder jedoch, Ordnung in diese Vielfalt zu bringen. Sie entdecken Gemeinsamkeiten und Unterschiede und überlegen, welche Schuhe zusammengehören. Manche Schuhe besitzen einen Klettverschluss, andere Schnürsenkel, wieder andere sind Stiefel.
Aus dem zunächst ungeordneten Durcheinander entstehen nach und nach erste Gruppen. Bereits jetzt erkennen die Kinder, dass manche Schuharten häufiger vertreten sind als andere.
Nachdem die Schuhe geordnet wurden, werden die einzelnen Schuhtypen gemeinsam gezählt. So entstehen Daten über die Häufigkeit der verschiedenen Schuhtypen.
„Wie viele Kinder tragen Schuhe mit Klettverschluss?“
„Wie viele haben Schnürschuhe?“
„Wie viele tragen Stiefel?“
Die Ergebnisse werden anschließend auf einem großen Blatt festgehalten. Über jedem Feld befindet sich ein einfaches Symbol für die jeweilige Schuhart. Jedes Kind trägt für seine Schuhe einen Strich in die passende Spalte ein. So entsteht Schritt für Schritt eine Strichliste.
Beim Hinsehen fällt auf, dass die Strichliste auf dem Praxisbild zunächst nicht exakt mit der tatsächlichen Anzahl der Schuhe übereinstimmt. Solche kleinen Unstimmigkeiten gehören zum gemeinsamen mathematischen Arbeiten dazu. Sie eröffnen wertvolle Gespräche darüber, wie Ergebnisse überprüft und verbessert werden können. Gemeinsam mit den Kindern wurde die Strichliste anschließend noch einmal kontrolliert und korrigiert.
Jetzt lassen sich die Häufigkeiten unmittelbar vergleichen. Manche Schuharten kommen häufiger vor, andere seltener. Aus der zunächst ungeordneten Schuhsammlung sind geordnete Daten entstanden, die nun sichtbar gemacht, verglichen und ausgewertet werden können. Solche einfachen Beobachtungen zeigen, dass statistische Fragestellungen überall im Alltag der Kinder entstehen können.
Das lebende Diagramm
Das lebende Diagramm: Die Kinder werden selbst Teil der Darstellung. Wie bereits im vorherigen Beispiel können die Ergebnisse anschließend zusätzlich in einer Strichliste dokumentiert und gemeinsam ausgewertet werden.
Die Fachkraft stellt eine einfache Frage, auf die die Kinder unterschiedliche Antworten geben können. Zum Beispiel:
Welches Tier mögt ihr am liebsten?
Was esst ihr besonders gern?
Welche Bewegung macht euch am meisten Spaß?
Für jede Antwort wird ein Bild an der Wand befestigt. Die Kinder gehen zu dem Bild, das ihrer Antwort entspricht. So entsteht im Raum ein lebendes Diagramm. Die unterschiedlich großen Gruppen machen unmittelbar sichtbar, wie sich die Antworten verteilen.
Noch bevor gezählt wird, erkennen die Kinder erste mathematische Zusammenhänge:
„Hier stehen die meisten Kinder.“
„Dort sind nur wenige.“
Sie vergleichen die Gruppen miteinander und überlegen, wo mehr und wo weniger Kinder stehen. Erst anschließend wird gemeinsam gezählt.
Die Kinder erleben dabei, dass Daten nicht nur aufgeschrieben werden können. Sie lassen sich auch durch Menschen selbst darstellen. Dadurch werden Häufigkeiten unmittelbar sichtbar und können gemeinsam beschrieben, verglichen und ausgewertet werden.
Solche Situationen sind für Kinder besonders motivierend, weil ihre eigenen Entscheidungen die Daten bilden, die anschließend gemeinsam betrachtet werden.
Kopf oder Zahl? Ein Zufallsexperiment
Vor vielen Fußballspielen entscheidet ein Münzwurf, welche Mannschaft Anstoß hat oder zuerst die Spielfeldseite wählen darf. Niemand kann das Ergebnis vorhersagen. Gerade deshalb gilt der Münzwurf als faire Entscheidung.
Zufall wird sichtbar: Die Kinder dokumentieren die Ergebnisse ihrer Münfwürfe und vergleichen die entstehenden Häufigkeiten.
Die Fachkraft legt ein Blatt Papier auf den Tisch. Darauf stehen zwei Überschriften:
Kopfseite | Zahlenseite
Ein Kind wirft die Münze.
„Zahl!“, ruft ein Kind.
Ein anderes Kind macht den ersten Strich unter Zahlenseite.
Beim nächsten Wurf meint ein Kind:
„Jetzt kommt bestimmt die Kopfseite.“
Die Münze landet wieder auf der Zahlenseite.
Die Kinder werfen weiter. Nach jedem Wurf wird das Ergebnis mit einem Strich festgehalten. Mal liegt die Kopfseite vorne, dann wieder die Zahlenseite. Im Bild führt die Zahlenseite deutlich. Das ist zwar eher ungewöhnlich, gehört bei wenigen Würfen aber durchaus zu den zufälligen Schwankungen. Mit jedem weiteren Wurf wächst die Strichliste. Dabei entdecken die Kinder etwas Erstaunliches.
Kein einzelner Münzwurf lässt sich vorhersagen. Bei jedem Wurf haben Kopf und Zahl dieselbe Wahrscheinlichkeit. Gleichzeitig nähern sich die beobachteten Häufigkeiten bei einer großen Zahl von Würfen immer stärker diesem Verhältnis an.
Das wirkt zunächst widersprüchlich.
Der Grund liegt darin, dass jeder Münzwurf ein neues Zufallsexperiment ist. Das Ergebnis eines Wurfes beeinflusst den nächsten nicht. Auch wenn fünfmal hintereinander Kopf gefallen ist, bleibt die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl beim nächsten Wurf unverändert.
Bei wenigen Würfen können die Ergebnisse stark schwanken. Bei vielen Würfen gleichen sich diese Zufallsschwankungen häufig immer mehr aus. Deshalb liegen Kopf und Zahl nach einer großen Zahl von Würfen meist annähernd gleich häufig vor. Diesen Zusammenhang beschreibt in der Mathematik das Gesetz der großen Zahlen.
Zwischen Zufall und Entscheidung
Zwei Kinder stehen sich gegenüber. Die Hände verschwinden für einen kurzen Moment hinter dem Rücken. Gemeinsam zählen sie: „Eins, zwei, drei!“ Dann kommen die Hände gleichzeitig nach vorne. In diesem Augenblick zeigt sich, was auf dem Bild zu sehen ist: Schere, Stein, Papier.
Mehr braucht es nicht: eine offene Hand, zwei gespreizte Finger, eine geballte Faust.
Die Regeln des Spiels sind schnell verstanden. Stein schlägt Schere, weil er sie stumpf macht. Schere schlägt Papier, weil sie es schneiden kann. Papier schlägt Stein, weil es ihn einwickelt. Drei Zeichen stehen in einer festen Beziehung zueinander. Keines ist den anderen grundsätzlich überlegen. Jedes gewinnt und jedes verliert, abhängig davon, welche Geste das andere Kind zeigt.
Und doch geschieht in diesem einfachen Moment weit mehr, als zunächst sichtbar wird.
Beide Kinder treffen eine bewusste Entscheidung. Vielleicht auch ganz spontan verbunden mit dem Gedanken: „Diesmal nehme ich Stein.“ Beide wählen gleichzeitig, ohne zu wissen, wie sich das andere Kind entscheidet. Erst in dem Augenblick, in dem beide ihre Hände öffnen, zeigt sich das Ergebnis.
Darin liegt die Spannung des Spiels.
Obwohl beide Kinder bewusst handeln, können sie das Ergebnis nicht kontrollieren. Gleichzeitig handelt es sich aber auch nicht um reinen Zufall. Kinder beobachten einander aufmerksam. Sie erinnern sich daran, welche Geste das andere Kind zuvor gewählt hat. Sie verändern ihre eigene Entscheidung oder bleiben bewusst bei ihrer ersten Idee.
So entsteht ein spannendes Zusammenspiel von Entscheidung und Zufall.
Nach einigen Spielrunden beginnen die Kinder, erste Vermutungen zu äußern.
„Du nimmst immer Stein. Mit Papier gewinne ich deshalb häufiger.“
Ob diese Vermutung oder ähnliche tatsächlich zutreffen, bleibt zunächst offen. Diese Unsicherheit verändert jedoch das Spiel. Die Kinder beobachten einander genauer. Sie vergleichen ihre Erfahrungen, erinnern sich an frühere Spielrunden und entwickeln erste Erwartungen darüber, wie sich das andere Kind entscheiden könnte.
Aus einer schnellen Geste wird allmählich eine kleine Untersuchung.
„Was hast du genommen?“
„Warum hast du das gewählt?“
„Was glaubst du, was ich jetzt mache?“
Das Spiel selbst bleibt unverändert. Die drei Zeichen und ihre Beziehungen zueinander ändern sich nicht.
Verändert hat sich jedoch der Blick der Kinder. Sie beginnen, in ihrem eigenen Handeln und im Handeln des anderen nach Regelmäßigkeiten zu suchen. Sie erleben, dass bewusste Entscheidungen nicht zwangsläufig zu vorhersehbaren Ergebnissen führen. Gleichzeitig erfahren sie, dass sich aus vielen Wiederholungen Fragen ergeben können.
Was passiert, wenn wir das ganz oft spielen? Bleibt das Ergebnis zufällig? Oder lassen sich doch bestimmte Muster erkennen?
Diese Fragen müssen nicht sofort beantwortet werden. Es genügt, sie einfach entstehen zu lassen. Das Spiel wiederholt sich von selbst. Mit jeder neuen Runde entstehen weitere Erfahrungen, die miteinander verglichen werden können.
Zwei Kinder. Drei Zeichen. Und jedes Mal eine neue Entscheidung mit offenem Ausgang.
Vielleicht liegt die Stärke dieses Spiels genau darin. Es erklärt keine mathematischen Begriffe und verfolgt kein vorgegebenes Lernziel. Es zeigt den Kindern, dass zwischen sicherem Wissen und völliger Beliebigkeit ein Bereich liegt, in dem beobachtet, verglichen, vermutet und nachgedacht wird.
Die Murmel-Statistik
Die Kinder wissen bereits, dass Kopf und Zahl bei einer Münze jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. Beide Ergebnisse haben eine Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent. Im Unterschied zum Münzwurfspiel kennen die Kinder die Wahrscheinlichkeiten diesmal nicht. Sie können sie nur aus ihren Beobachtungen erschließen. Dazu müssen sie aus vielen einzelnen Ergebnissen Rückschlüsse auf etwas ziehen, das sie zunächst gar nicht sehen können.
Die Kinder sammeln Daten und nutzen sie, um Rückschlüsse auf die Verteilung der roten und grünen Murmeln im Beutel zu ziehen.
Zufall lässt sich im Kindergarten besonders gut in einfachen Spielen beobachten. Ein Beispiel ist ein Beutel mit Murmeln in zwei verschiedenen Farben. Vor Beginn des Spiels hat die Fachkraft den Beutel mit unterschiedlich vielen roten und grünen Murmeln gefüllt. Die Kinder kennen diese Verteilung jedoch nicht.
Anstelle unterschiedlich farbiger Murmeln können, insbesondere bei älteren Kindern, auch verschiedene Formen verwendet werden, etwa Dreiecke und Vierecke. Dadurch wird das Spiel sprachlich und kognitiv anspruchsvoller. Die Kinder benennen nicht nur das gezogene Objekt („Noch einmal ein Dreieck!“ oder „Jetzt kommt ein Viereck!“), sondern achten gleichzeitig auf unterschiedliche Merkmale und deren Häufigkeiten.
Die Kinder ziehen nacheinander eine Murmel aus dem Beutel, ohne hineinzuschauen. Nachdem die Farbe genannt wurde, wird die Murmel wieder in den Beutel zurückgelegt. Für jede gezogene Farbe wird ein Strich gemacht. Nach und nach entsteht eine kleine Strichliste.
Mit jeder weiteren Ziehung wächst die Liste. Die Kinder beobachten gespannt, welche Farbe häufiger erscheint.
Dabei entstehen schnell Fragen:
„Warum kommt Rot so oft?“
„Ist vielleicht mehr Rot im Beutel?“
Je mehr Ziehungen zusammenkommen, desto sicherer werden viele Kinder in ihrer Vermutung. Schließlich sind sie überzeugt, dass sich deutlich mehr rote als grüne Murmeln im Beutel befinden.
Erst jetzt wird der Beutel geöffnet. Tatsächlich zeigt sich, wie viele Murmeln jeder Farbe darin liegen.
Die Kinder erleben dabei, dass sich aus vielen einzelnen Beobachtungen Hinweise auf etwas ergeben können, das zunächst verborgen war. Einzelne Ziehungen sind zufällig und nicht vorhersehbar. Erst die Gesamtheit vieler Ziehungen ermöglicht Vermutungen darüber, wie die Murmeln im Beutel verteilt sind.
Würde das Experiment nicht zwanzig oder dreißig, sondern mehrere hundert oder sogar tausend Mal durchgeführt, ließe sich die Verteilung der Murmeln immer genauer abschätzen. Die gesammelten Daten liefern dann eine immer zuverlässigere Grundlage für die Vermutungen der Kinder.
C. Exemplarische Verdichtung der Beobachtungen
Kehren wir noch einmal an den Anfang dieses Beitrags zurück. Die folgende Szene haben wir eingangs bereits kennengelernt. Nun betrachten wir sie aus einer anderen Perspektive. Diesmal richtet sich der Blick weniger auf das Ergebnis als auf den gemeinsamen Weg von einer Vermutung zu einer begründeten mathematischen Erkenntnis. Die Kinder stehen vor dem Geburtstagskalender.
Ein Kind zeigt auf den Kalender.
„Da sind viele!“
Ein anderes Kind schüttelt den Kopf.
„Hier sind auch viele!“
Es zeigt auf den März.
Die pädagogische Fachkraft hört den Kindern aufmerksam zu. Sie entscheidet nicht, wer recht hat. Stattdessen fragt sie:
„Was meint ihr? Wie könnten wir herausfinden ob es gleich viel sind?“
Für einen Moment wird es still.
Dann sagt ein Kind:
„Wir zählen!“
Ein anderes Kind holt Papier und Stift.
„Ich mache die Striche.“
Gemeinsam beginnen die Kinder, die Geburtstage den einzelnen Monaten zuzuordnen. Für jeden Geburtstag setzen sie einen Strich beim entsprechenden Monat. Nach und nach entsteht eine Übersicht. Die Kinder vergleichen die Monate miteinander.
„Hier sind fünf.“
„Und da nur drei.“
Das Kind schaut noch einmal auf den Kalender.
„Ach so!“
Die Fachkraft fragt:
„Woher weißt du das jetzt?“
Das Kind zeigt auf die Strichliste.
„Weil wir gezählt haben.“
Aus einer alltäglichen Beobachtung entwickelt sich Schritt für Schritt ein mathematischer Denkprozess. Die Kinder sammeln Daten, vergleichen Häufigkeiten und überprüfen ihre Vermutungen. Sie erleben, dass einzelne Eindrücke täuschen können und dass nachvollziehbare Aussagen entstehen, wenn Beobachtungen gemeinsam geordnet und ausgewertet werden. Mathematische Erkenntnisse beruhen auf begründbaren Zusammenhängen und nicht etwa auf Meinungen und Mehrheiten.
Hier liegt eine weitreichende Bedeutung früher mathematischer Bildung. Kinder lernen, Fragen zu stellen, Vermutungen zu überprüfen und Beobachtungen als Grundlage gemeinsamer Entscheidungen zu nutzen. Sie erfahren, dass unterschiedliche Auffassungen nicht durch Überreden oder Abstimmen geklärt werden müssen, sondern durch gemeinsames Nachdenken, Beobachten und Prüfen. Fähigkeiten wie diese sind nicht nur für mathematisches Denken bedeutsam. Sie helfen auch dabei, Informationen kritisch einzuordnen, Begründungen nachzuvollziehen und unterschiedliche Auffassungen gemeinsam zu prüfen.
D. Fortbildung: Reflexionen der Einrichtungen
Können wir herausfinden, wie die roten, gelben und grünen Gegenstände im Beutel verteilt sind? Diese Frage entwickelte sich zum meistdiskutierten Thema der Fortbildung.
Dieses Experiment entwickelte sich während der Fortbildung zum meistdiskutierten Beispiel des gesamten Nachmittags. Ausgangspunkt war ein einfacher Stoffbeutel mit gelben, grünen und roten Gegenständen in unbekannter Anzahl. Ohne in den Beutel hineinzuschauen, wurde jeweils ein Gegenstand gezogen, seine Farbe notiert und anschließend wieder zurückgelegt. Nach und nach entstand eine gemeinsame Strichliste, aus der die Teilnehmenden Rückschlüsse auf die unbekannte Verteilung der drei Farben ziehen sollten.
Für die Fortbildung wurde das Experiment bewusst etwas anspruchsvoller gestaltet als die Variante für Kinder. Drei Farben eröffneten zahlreiche mögliche Vermutungen und führten immer wieder zu neuen Überlegungen.
Im Mittelpunkt der anschließenden Diskussion stand jedoch eine andere Frage:
Können Kinder im Kindergartenalter aus vielen einzelnen Beobachtungen tatsächlich Rückschlüsse auf eine unbekannte Verteilung ziehen?
Gerade diese Frage führte zu einer ungewöhnlich intensiven fachlichen Auseinandersetzung. Die pädagogischen Fachkräfte diskutierten ihre Vermutungen, überprüften sie anhand der wachsenden Strichliste und änderten ihre Einschätzungen immer wieder. Während des gemeinsamen Experiments wurde deutlich, wie anspruchsvoll statistisches Denken bereits für Erwachsene sein kann und wie reichhaltige mathematische Gespräche aus einer scheinbar einfachen Spielsituation entstehen.
Besonders eindrucksvoll war schließlich der Erfahrungsbericht der vorstellenden Einrichtung. Er bestätigte, dass die Murmel Statistik mit den Kindern erfolgreich durchgeführt worden war. Viele der während der Fortbildung geäußerten Zweifel hatten sich in der pädagogischen Praxis nicht bestätigt.
Wo stehen wir heute – und welchen nächsten Schritt gehen wir gemeinsam?
Zum Abschluss der Fortbildung lud Fachberaterin Annette Roth die Vertreterinnen der beteiligten Einrichtungen zu einer gemeinsamen Standortbestimmung ein. Im Mittelpunkt stand der eigene Entwicklungsweg jeder Einrichtung. Ziel war es, den aktuellen Entwicklungsstand sichtbar zu machen und einen konkreten nächsten Schritt bis zum nächsten Treffen zu formulieren.
Dadurch wurde deutlich, dass der Weg weitergeht. Jede Einrichtung geht ihn auf ihre eigene Weise. Der nächste kleine Schritt ist wichtig und zeigt: Der Weg ist das Ziel.
Jede Holzfigur stand stellvertretend für eine Einrichtung. Die Position auf dem Zahlenweg brachte eine gemeinsame Selbsteinschätzung zum Ausdruck: Wo stehen wir heute? Welche Erfahrungen konnten wir bereits sammeln? Und welcher nächste Schritt erscheint für unsere Einrichtung jetzt sinnvoll?
Zur Orientierung dienten unter anderem Fragen wie:
Wo erleben wir mathematische Bildung in unserer Einrichtung bereits besonders häufig?
- Welche Situation aus unserem Alltag ist uns in den letzten Wochen besonders in Erinnerung geblieben?
- Worauf sind wir gemeinsam stolz?
- Welche mathematische Idee möchten wir bis zum nächsten Treffen bewusster aufgreifen?
- Was muss sich in unserem pädagogischen Alltag verändern, damit wir einen weiteren Entwicklungsschritt gehen können?
- Welche konkreten Schritte möchten wir bis zum nächsten Treffen ausprobieren?
- Welche kleine Veränderung möchten wir im Alltag umsetzen?
- Welche Unterstützung wünschen wir uns dabei?
- Woran würden wir in einigen Wochen erkennen, dass wir einen Schritt weitergekommen sind?
- Wo entstehen besonders viele gemeinsame mathematische Gespräche mit den Kindern?
- Welches der fünf didaktischen Prinzipien möchten wir bis zum nächsten Treffen bewusster verwirklichen?
- Welche Erfahrungen möchten wir beim nächsten Treffen mit den anderen Einrichtungen teilen?
- Welche Fragen möchten wir gemeinsam weiter untersuchen?
Der Zahlenweg wurde damit selbst zu einem Bild des gemeinsamen Entwicklungsprozesses. Unterschiedliche Ausgangspunkte waren selbstverständlich. Maßgebend war die Bereitschaft, den nächsten Entwicklungsschritt bewusst zu gestalten und die dabei gewonnenen Erfahrungen beim nächsten Treffen wieder mit den anderen zu teilen.
E. Wie es weitergeht: Modul 8
Mit Modul 8 schließt sich ein erster Kreis dieser Beitragsreihe. Zugleich eröffnet sich ein neuer Blick auf die weitere Entwicklung früher mathematischer Bildung. Das Konzept „Komm mit ins Zahlenland“ entstand vor mehr als 25 Jahren und wurde seitdem kontinuierlich weiterentwickelt. Viele der in dieser Beitragsreihe vorgestellten Gedanken sind in dieser Zeit aus der praktischen Arbeit mit Kindern, aus wissenschaftlicher Reflexion und aus dem Dialog mit pädagogischen Fachkräften hervorgegangen. Weiterentwickeln konnte sich das Konzept jedoch nur im gemeinsamen Austausch mit Kindern, Kolleginnen und Kollegen, Eltern, Fachberatungen und Wissenschaft. Auch die weitere Entwicklung früher mathematischer Bildung verstehen wir als einen gemeinsamen Prozess, der vom Dialog, von neuen Erfahrungen und vom gegenseitigen Lernen lebt. Im Mittelpunkt des Abschlussmoduls steht die Frage, wie sich mathematische Bildung über die klassischen Zahlaspekte hinaus weiterdenken lässt. Dabei werden zwei weitere Perspektiven vorgestellt: der narrative und der musikalische Zahlaspekt.
Der narrative Zahlaspekt richtet den Blick darauf, dass Zahlen seit Jahrhunderten auch Teil von Geschichten, Märchen und kulturellen Überlieferungen sind. Bereits in Peterleins Traumfahrt ins Zahlenreich (ca. 1948) und wenig später in Hans Zoozmanns Der Nullrich – Eine Reise ins Zahlenland (1950) finden sich erzählerische Zugänge zur Welt der Zahlen. Erzählen und Mathematik stehen deshalb nicht in einem Gegensatz, sondern besitzen eine lange pädagogische Tradition.
Der musikalische Zahlaspekt macht sichtbar, dass Zahlen auch Rhythmen, Takte, Wiederholungen und harmonische Verhältnisse strukturieren. Kinder begegnen Zahlen daher nicht nur beim Zählen oder Rechnen, sondern ebenso beim Singen, Musizieren und Bewegen.
Mit diesen beiden Perspektiven entstehen keine neuen Zahlaspekte im engeren mathematischen Sinn. Mit ihnen lässt sich nicht rechnen oder messen. Sie erweitern jedoch den Blick auf Zahl als Bestandteil von Sprache, Kultur, Musik und gemeinsamen Erfahrungen. Frühkindliche mathematische Bildung erweitert damit ihren Horizont. Sie erschließt Zahl als Teil von Sprache, Kultur, Musik und gemeinsamen Erfahrungen, ohne ihren fachlichen Kern aufzugeben.
Das Abschlussmodul versteht diese Überlegungen als ein mögliches Integrationsmodell. Es lädt dazu ein, mathematische, sprachliche, ästhetische und kulturelle Erfahrungen nicht getrennt zu betrachten, sondern in ihrem Zusammenhang wahrzunehmen. Die Motivation vieler Kinder zeigt, dass gerade erzählerische und musikalische Zugänge häufig einen besonders intensiven Einstieg in mathematische Gespräche und gemeinsame Denkprozesse ermöglichen.
So schließt die Reihe vorerst dort, wo sie begonnen hat: bei den Fragen der Kinder, ihren Beobachtungen, ihrem gemeinsamen Handeln und den mathematischen Ideen, die daraus entstehen.
Weiterführende Artikel auf Erzieherin.de:
Frühe mathematische Bildung braucht Praxis: Der Auftakt einer kollegialen Fortbildungsreihe
Modul 1: Fröbel, Alltag und Dialog - Wie in Herbolzheim frühe mathematische Bildung gemeinsam entsteht
Modul 2: Formen, Muster und Symmetrien entdecken, erfinden und gemeinsam hervorbringen
Modul 3: „Wo ist was – und was gehört zusammen?“ Wie Kinder Raumbeziehungen entdecken – und wie die Mathematik dabei hilft, Ordnung in die Welt zu bringen
Modul 4: Wie viele? Und an welcher Stelle?
Modul 5 – Wie viele sind es jetzt? Und wie passt das zusammen?
Modul 6 - Schätzen, Vergleichen und Messen – Mathematik mit Maß erleben
Ergänzende Beiträge:
Komm mit ins Zahlenland – beliebt und gerne missverstanden
Lernen durch Bewegung – Der Zahlenweg in der frühen mathematischen Bildung
Frühe mathematische Bildung in Rollenspielen: „Ich wäre der Verkäufer – und du?“
Frühe mathematische Bildung: Wie Kinder, Eltern und Großeltern mathematische Bildung gemeinsam erleben und weitertragen: Ein Mitmachnachmittag für die ganze Familie
Dieses Bildungsprojekt wird in Kooperation mit dem Herder Verlag, Wehrfritz und der Stadt Herbolzheim umgesetzt.
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Autor*innengruppe:
Priv. Doz. Dr. habil. Gerhard Friedrich, Philipp Diehr und Nicole Kaiser
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