Modul 4 – Wie viele? Und an welcher Stelle?
„Toni, du wohnst doch hier“, sagt die Fachkraft, als die kleine Gruppe vor der Haustür stehen bleibt. Toni nickt. „Hier wohne ich.“
Die Fachkraft zeigt auf das Ziffernbild neben der Tür.
„Da steht die Zahl 4.“
Sie schaut sich um.
„Vier? Stehen hier vier Häuser?“
Das Ziffernbild 4 an der Tür ist schnell gelesen. Doch was sie hier bedeutet, hängt vom konkreten Zusammenhang ab und davon, was wir unter Zahlen verstehen, oder genauer: welches Verständnis von Zahlen wir bereits mitbringen.
Für uns Erwachsene mag die Frage der Erzieherin albern wirken.
Aber ist sie das wirklich?
Für uns ist es selbstverständlich: Wenn hier die 4 steht, denken wir die 3 davor und die 5 danach mit. Wir verstehen die Zahl als Hausnummer – also als Teil einer geordneten Folge.
Ob diese Folge auf einer oder auf zwei Straßenseiten angeordnet ist, beruht auf einer Übereinkunft. Niemand von uns würde beginnen, die Häuser abzuzählen.
Für viele Kinder steht bei Zahlen die Anzahl im Vordergrund. Die Zahl „vier“ bezeichnet für sie eine Menge von vier Dingen: vier Äpfel, vier Bauklötze, vier Kinder. Diese Vorstellung ist naheliegend und sie trifft einen wichtigen Aspekt der Zahl. An diesem scheinbar einfachen Beispiel wird das Thema dieses Moduls sichtbar.
A. Was hinter der scheinbar einfachen Frage „Stehen hier vier Häuser?“ steckt
Der folgende Abschnitt enthält den umfangreichsten fachlichen Input innerhalb dieser Modulreihe. Er mag auf den ersten Blick dicht erscheinen. Manche Gedanken kehren im Text wieder. Das geschieht bewusst. Die Darstellung folgt einem didaktischen Kreis, in dem zentrale Zusammenhänge aus unterschiedlichen Situationen heraus deutlich werden.
Gerade diese Dichte macht sichtbar, was sich hinter der scheinbar einfachen Frage „Stehen hier vier Häuser?“ verbirgt. Was für uns selbstverständlich wirkt, ist das Ergebnis zahlreicher aufeinander aufbauender Einsichten.
Erwachsene vollziehen sie meist, ohne es zu bemerken, so wie wir unsere Sprache sicher verwenden, ohne ihre Grammatik benennen zu können.
Wer hier liest, begegnet also nichts Fremdem. Vielmehr wird sichtbar, was wir längst können und was Kinder Schritt für Schritt erst entwickeln müssen.
Kardinalität und Ordinalität – zwei grundlegende Bedeutungen von Zahlen
In der Mathematik unterscheidet man zwei grundlegende Bedeutungsrichtungen von Zahlen.
Zum einen den kardinalen Zahlaspekt, auch Anzahlaspekt genannt. Hier beschreibt eine Zahl, wie viele Elemente zu einer Menge gehören.
Diese Zahl beantwortet die Frage: „Wie viele sind es?“
Zum anderen den ordinalen Zahlaspekt, auch Ordnungsaspekt genannt.
Hier beschreibt eine Zahl nicht eine Menge, sondern eine Position innerhalb einer geordneten Reihe.
Sie beantwortet die Frage: „Der wievielte ist es?“
Auch Formulierungen wie „die nächste Kerze“ verweisen auf eine solche Ordnung. Zwei Kerzen sind bereits ausgeblasen. Es geht nun nicht mehr um die Anzahl, sondern um die Position innerhalb der Reihe.
Beide Bedeutungen stehen in engem Zusammenhang. Im Alltag erscheinen sie selbstverständlich. Für Kinder stellen sie jedoch unterschiedliche Anforderungen.
Ein tragfähiges Zahlverständnis entsteht erst, wenn beide Aspekte im Handeln, im Zählen und im Gespräch erfahrbar werden.
1. Grundlegende Prinzipien des frühen Zahlverständnisses
1.1 Stabile Reihenfolge der Zahlwörter
„Guten Appetit, Frau Schmidt, Pommes frites, alle essen mit!“ Viele Kinder können diesen Mittagessenspruch flüssig aufsagen, oft schneller, als man zuhören kann.
Auch die Zahlwortreihe beherrschen manche Kinder bereits erstaunlich sicher: „Eins, zwei, drei, vier …“ In beiden Fällen handelt es sich um eine beachtliche Gedächtnisleistung. Doch das flüssige Aufsagen allein bedeutet noch nicht, dass verstanden wird, was die gesprochenen Wörter inhaltlich bedeuten.
Entscheidend ist etwas anderes: Die Kinder haben gelernt, dass die Reihenfolge der Zahlwörter unveränderlich ist. Diese stabile Ordnung ist eine notwendige Voraussetzung für das Zählen, aber sie genügt noch nicht für ein tragfähiges Zahlverständnis.
1.2 Das Eins-zu-eins-Prinzip (Zuordnungsprinzip)
Das Beispiel mit dem Kerzenausblasen (Bild) erlaubt unterschiedliche Deutungen. Man kann sie kardinal lesen, zwei sind ausgeblasen, oder ordinal: Welche steht an dritter Stelle?
Um diese Frage beantworten zu können, muss jede Kerze beim Zählen genau einmal erfasst werden. Jedem Zahlwort wird ein Objekt zugeordnet. Diese Eins-zu-eins-Zuordnung bildet die Grundlage sowohl des kardinalen als auch des ordinalen Zählens.
Kein Objekt darf übergangen oder doppelt berücksichtigt werden.
Wer Kinder beim Abzählen beobachtet, etwa beim Zählen von Kastanien, sieht häufig, wie sie mit dem Finger auf einzelne Elemente zeigen und das passende Zahlwort sprechen. Dabei kommt es vor, dass ein Objekt zweimal berührt oder ein anderes ausgelassen wird. In solchen Momenten wird sichtbar, dass die Eins-zu-eins-Zuordnung noch nicht stabil gelingt. Erst wenn am Ende jedes Element genau einmal gezählt ist, kann die zuletzt genannte Zahl die Gesamtanzahl angeben. Die Zahl am Ende des Zählens beantwortet dann die Frage: „Wie viele sind es insgesamt?“
Dabei spielt es keine Rolle, wie die Gegenstände angeordnet sind oder an welchem Element begonnen wird. Entscheidend ist allein die eindeutige Zuordnung zwischen Zahlwort und Objekt sowie die stabile Reihenfolge der Zahlwörter.
1.3 Invarianz der Anzahl
Fünf Punkte bleiben fünf Punkte unabhängig davon, wie sie auf der Fläche oder im Raum verteilt sind oder in welcher Richtung gezählt wird. Für uns wirkt das selbstverständlich. Für Kinder ist diese Unveränderlichkeit der Anzahl jedoch keine Selbstverständlichkeit. Sie ist eine grundlegende mathematische Einsicht, die sich erst in vielfältigen Erfahrungen entwickelt.
1.4 Abstraktheit der Zahl
Fünf Kerzen. Fünf Kastanien. Fünf Punkte.
Das Gemeinsame liegt in der Anzahl, unabhängig vom Material oder vom Zweck der Dinge. Die Zahl „fünf“ bezeichnet keine Eigenschaft der Gegenstände, sondern wie viele es sind. Gerade diese Loslösung vom konkreten Material macht Zahlen abstrakt und übertragbar. Erst dadurch werden sie zu einem mächtigen Werkzeug der Mathematik. Zugleich entsteht hier eine der größten Verständnishürden für Kinder. Kinder denken zunächst stark im konkreten Zusammenhang.
Was bei Kerzen gilt, gilt auch bei Kastanien, Bausteinen oder Menschen.
Fünf Kerzen, fünf Kastanien, fünf Bausteine oder fünf Menschen bezeichnen jeweils eine Menge von fünf Elementen.
1.5 Simultane Zahlerfassung (engl. subitizing)
Kleine Mengen können häufig erfasst werden, ohne dass gezählt wird. Drei oder vier Punkte werden auf einen Blick als „drei“ oder „vier“ erkannt. Erst bei größeren Mengen beginnt das bewusste Abzählen.
Diese simultane Zahlerfassung ist kein verkürztes Zählen, sondern eine eigenständige Form der Mengenerfassung. Sie setzt übersichtliche Strukturen voraus und gerät bei ungeordneten Anordnungen rasch an ihre Grenzen. Häufig liegt diese Grenze bei drei oder vier Elementen. Bei klar strukturierten Anordnungen können auch etwas größere Mengen ohne vollständiges Abzählen erfasst werden. Das zeigen auch die Punktbilder eines Würfels. Fünf oder sechs Punkte lassen sich oft auf einen Blick erkennen. Auch diese Fähigkeit entwickelt sich bei Kindern erst nach und nach.
Dabei spielt die Wahrnehmung von Strukturen eine wichtige Rolle. Punkte werden nicht einzeln gesehen, sondern zu kleinen Einheiten zusammengefasst.
Auch diese Fähigkeit entwickelt sich nicht von selbst. Sie entsteht durch wiederholte Erfahrungen mit kleinen Mengen und durch häufige Gelegenheiten, solche Strukturen wahrzunehmen.
Ihre Bedeutung geht jedoch über die Wahrnehmung hinaus: Die Fähigkeit, kleine Mengen sicher und unmittelbar zu erfassen, bildet eine wichtige Grundlage für den späteren Aufbau tragfähiger Rechenvorstellungen. Schwierigkeiten in diesem Bereich stehen häufig in Zusammenhang mit späteren mathematischen Lernproblemen.
2. Der kardinale Zahlaspekt – Zahl als Anzahl
2.1 Die Frage „Wie viele?“
Die Frage „Wie viele sind es?“ richtet sich auf die Anzahl der Elemente einer Menge. Mathematisch gesprochen geht es darum, wie viele Elemente diese Menge umfasst.
Wer so fragt, interessiert sich für die Gesamtanzahl, nicht für Reihenfolge oder Position. Ob Bauklötze auf dem Teppich liegen, Kastanien im Kreis liegen oder Spielsteine auf dem Tisch liegen, für die Zahl spielt das Material keine Rolle. Die genannte Zahl beschreibt, wie viele Elemente vorhanden sind.
In der Mathematik spricht man von der Mächtigkeit einer Menge und vom kardinalen Zahlaspekt, auch Anzahlaspekt genannt.
2.2 Zahl als Beschreibung einer Menge
Eine Zahl beschreibt eine Menge von Elementen. Wer „vier“ sagt, meint nicht ein bestimmtes Objekt, sondern alle vier gemeinsam.
Die Zahl bezeichnet damit die Mächtigkeit einer Menge, ihren kardinalen oder Anzahlaspekt.
2.3 Kardinalität im Handeln der Kinder
Wie sich dieser Zahlaspekt im Handeln der Kinder zeigt, lässt sich an einem einfachen Spiel beobachten.
Alles oder nichts
Zwei Kinder spielen ein einfaches Spiel. Jedes Kind erhält zu Beginn zehn Holzperlen. Ein Würfel entscheidet, wie viele Holzperlen dem Gegner entnommen werden dürfen. Im Mittelpunkt steht die Frage: Wie viele liegen jetzt auf meiner Seite? Oder: Wer ist zuerst pleite?
Auch wenn ein Kind mehr Holzperlen abgeben muss, als es noch besitzt, endet das Spiel ebenso wie bei einem genauen Aufgehen.
Zu Beginn werden die gewürfelten Punkte häufig einzeln abgezählt und nacheinander verschoben. Mit zunehmender Spielpraxis verändert sich das Vorgehen. Die gewürfelte Menge wird als Einheit erfasst. Beim Würfeln einer 3 zum Beispiel wandern diese nicht einzeln, sondern gebündelt über das Spielfeld. Dieser Gedanke wird im weiteren Verlauf noch einmal vertieft.
Für die Kinder bedeutet das eine zunehmende Arbeitserleichterung. Hier zeigt sich ein bedeutsamer Entwicklungsschritt: Die gewürfelte Zahl steht für eine Menge, die als Ganzes erkannt wird.
Variation für jüngere Kinder:
Der Würfel zeigt nur die Zahlen 1 bis 3, und jedes Kind beginnt mit fünf Holzperlen. Die gewürfelte Zahl bestimmt, um wie viele Felder eine Perle vorgezogen wird. So bleibt die mathematische Struktur des Spiels erhalten, während der Zahlenraum kleiner und überschaubarer wird.
Wird die höchste Zahl gewürfelt, also die 6 beim normalen Würfel oder die 3 bei der vereinfachten Variante, darf noch einmal gewürfelt werden.
2.4 Typische Stolperstellen beim Abzählen
Beim Abzählen zeigen sich unterschiedliche Unsicherheiten. Ein Element wird zweimal gezählt oder eines wird ausgelassen. Manchmal wird auch über das letzte Element hinaus weitergezählt.
Solche Situationen sind im frühen Zahlverständnis eher die Regel als die Ausnahme. Sie gehören zum Lernprozess und zeigen, wie sich das Verständnis für Anzahl Schritt für Schritt entwickelt. In diesen Momenten wird deutlich: Die Abfolge der Zahlwörter ist noch nicht sicher mit den einzelnen Elementen verbunden.
Erst wenn jedes Element genau einmal berücksichtigt wird und die letzte Zahl als Gesamtanzahl verstanden wird, gelingt eine verlässliche Bestimmung der Menge. Hilfreich ist dabei, wenn Kinder die Elemente beim Zählen berühren, verschieben oder mit dem Finger zeigen. In wiederholten Situationen und immer neuen Zusammenhängen verbindet sich so die Abfolge der Zahlwörter zunehmend sicher mit den einzelnen Elementen.
3. Der ordinale Zahlaspekt – Zahl als Platz in einer Ordnung
3.1 Die Frage „Der wievielte?“
Die Frage „Der wievielte ist es?“ richtet sich auf die Position eines Elements innerhalb einer geordneten Folge. Mathematisch gesprochen geht es darum, welchen Platz ein Element in einer Ordnung einnimmt.
Wer so fragt, interessiert sich für die Stellung innerhalb der Reihe. Ob ein Kind in einer Schlange steht, eine Kerze angezündet wird, eine Hausnummer gelesen wird oder bei einer Siegerehrung der erste, zweite oder dritte Platz genannt wird. Die genannte Zahl beschreibt, welche Stelle in der Reihe gemeint ist. Sie steht für einen Platz in einer Ordnung. In der Mathematik spricht man vom ordinalen Zahlaspekt.
3.2 Zahl als Position in einer geordneten Folge
Eine Zahl kann auch einen bestimmten Platz innerhalb einer Reihe bezeichnen. Sie steht dann nicht für eine Menge, sondern für eine Stelle.
Wer „vier“ sagt, meint hier die vierte Position in einer Abfolge. Dieser Platz ergibt sich nur im Zusammenhang mit den vorhergehenden und nachfolgenden Elementen.
Die Zahl beschreibt damit einen Ordnungszusammenhang, ihren ordinalen Aspekt.
3.3 Ordinalität und Übereinkunft (z. B. Hausnummern)
Nicht jede Zahl, die eine Position bezeichnet, entsteht aus einem Abzählvorgang.
Hausnummern zum Beispiel folgen einer festgelegten Ordnung. Die 4 steht zwischen der 3 und der 5. Doch sie entsteht nicht dadurch, dass jemand die Häuser jedes Mal neu zählt. Die Reihenfolge ist vereinbart und beruht auf einer gesellschaftlichen Konvention.
Wer eine Hausnummer liest, greift auf dieses gemeinsam geteilte Ordnungssystem zurück. Die Zahl bezeichnet eine bestimmte Stelle innerhalb dieser Struktur.
Auch Rangfolgen funktionieren so. Wer bei einem Wettlauf Zweiter wird, liegt hinter dem Ersten und vor dem Dritten. Wie groß der Abstand zwischen den Läufern ist, spielt dabei keine Rolle.
Ordinalität beschreibt eine Reihenfolge. Sie macht keine Aussage über die Größe von Abständen.
3.4 Ordinalität ohne Mengenbezug
Addition und Subtraktion in Bewegung – „Hin und Her“
Die Kinder werden in zwei Gruppen eingeteilt oder spielen einzeln gegeneinander. In der Mitte eines auf Papier gezeichneten Zahlenwegs von 0 bis 20 wird auf der Zahl 10 eine Spielfigur, zum Beispiel ein Mensch ärgere dich nicht Männchen, platziert. Ziel des Spiels ist es, die Spielfigur durch Würfeln und Ziehen in die eigene Richtung zu bewegen.
Nach dem Auslosen der Startreihenfolge wählt jede Seite eine Bewegungsrichtung, entweder in Richtung der 0 oder in Richtung der 20. Anschließend wird abwechselnd gewürfelt. Die Spielfigur wird entsprechend der gewürfelten Augenzahl in die jeweilige Richtung verschoben. Da beide Seiten in entgegengesetzte Richtungen spielen, wechselt die Spielfigur ständig ihre Position. Das Spiel endet, sobald es einer Seite gelingt, die Spielfigur über die eigene Ziellinie, also über die 0 oder die 20, hinauszubringen.
Variationen
• Bei einer gewürfelten 6 darf ein zusätzlicher Wurf erfolgen.
• Der Zahlenweg kann auf die Zahlen von 0 bis 10 reduziert werden. In diesem Fall wird mit einem Würfel gespielt, der nur die Zahlen 1 bis 3 zeigt.
Gleichzeitig entstehen dabei grundlegende mathematische Erfahrungen. Bewegt sich die Spielfigur in Richtung der 20, wird die gewürfelte Zahl zur bestehenden Zahl hinzugefügt. Bewegt sie sich in Richtung der 0, wird sie entsprechend verringert. Ohne dass dies ausdrücklich benannt wird, erleben die Kinder auf diese Weise fortlaufend Situationen der Addition und der Subtraktion.
Eine Beobachtung aus unserer Alltagspraxis zeigt, wie schnell Kinder die Struktur eines Spiels erfassen. Nachdem wir „Hin und her“ und das Spiel „Alles oder nichts“ mehrfach gespielt hatten, bemerkte ein Kind: „Das ist ja genau das gleiche Spiel.“ Ganz richtig war diese Beobachtung zwar nicht. Sie weist jedoch auf ein wichtiges Verständnis hin. Genau hier zeigt sich die Verbindung von Ordinalität, also der Position in der Reihe, und Kardinalität, also der Veränderung der Anzahl.
4. Der Zusammenhang von Kardinalität und Ordinalität
Beim Zählen begegnen sich Kardinalität und Ordinalität.
4.1 Zählen als Brücke zwischen Menge und Reihenfolge
Mathe ohne Augen
Mehrere Kinder sitzen gemeinsam am Tisch. Ein Kind hat die Augen verbunden. Ein anderes lässt nacheinander Bohnen in ein Glas fallen. Die übrigen Kinder beobachten aufmerksam.
Vorab ist vereinbart: Wenn keine weitere Bohne mehr fällt, heißt es „Stopp“. Danach stellt sich die Frage: „Wie viele Bohnen sind im Glas?“
Das Kind mit verbundenen Augen zählt über das Hören. Es ordnet jedem hörbaren Impuls ein Zahlwort zu: eins, zwei, drei …
Damit wird deutlich, was Zählen verlangt. Die Zahlwortreihe muss sicher verfügbar sein. Jeder Hörimpuls wird genau einmal erfasst. Die zuletzt genannte Zahl steht für die gesamte Anzahl der gehörten Bohnen.
Hier zeigt sich Zählen als Brücke zwischen Reihenfolge und Menge. Hier begegnen sich Ordinalität und Kardinalität.
4.2 Warum diese Verbindung für Kinder anspruchsvoll ist
Das Beispiel mit den Bohnen zeigt, was beim Zählen zusammenkommen muss.
Das Kind mit verbundenen Augen verfolgt zunächst die Abfolge der hörbaren Impulse: eins, zwei, drei …
Gleichzeitig soll verstanden werden, dass die zuletzt genannte Zahl für alle gehörten Bohnen gemeinsam steht. Für Kinder sind diese beiden Leistungen zunächst unterschiedliche kognitive Anforderungen.
Einerseits müssen sie die Reihenfolge der Impulse verfolgen. Andererseits sollen sie erkennen, dass die zuletzt genannte Zahl eine Aussage über die gesamte Menge macht. Beides miteinander zu verbinden ist anspruchsvoll. Während die Aufmerksamkeit noch auf der Abfolge der einzelnen Impulse liegt, bleibt die Bedeutung der letzten Zahl häufig noch unklar.
Gerade deshalb braucht die Entwicklung des Zahlverständnisses Zeit, Wiederholung und viele Gelegenheiten zum Zählen.
Viele Kinder greifen dabei ganz selbstverständlich auf ihre Finger zurück. Sie helfen, die Reihenfolge der Zahlwörter mit den einzelnen Elementen zu verbinden. In der mathematikdidaktischen Forschung gilt das Nutzen der Finger heute als wichtiger Entwicklungsschritt beim Aufbau eines tragfähigen Zahlverständnisses.
Ein ähnliches Phänomen zeigt sich übrigens beim lauten Vorlesen. Wer noch stark damit beschäftigt ist, die einzelnen Wörter korrekt zu entziffern, kann den inhaltlichen Zusammenhang oft noch nicht gleichzeitig erfassen. Auch hier werden zwei Anforderungen Schritt für Schritt miteinander verbunden.
4.3 Nochmals zurück zur Eingangsfrage: „Stehen hier vier Häuser?“
Wirkt die Frage „Stehen hier vier Häuser?“ immer noch albern? Wohl kaum. Inzwischen wurde deutlich, dass Zahlen auf verschiedene Weisen verstanden werden können.
Dieses Bild fasst zentrale Gedanken des vorangegangenen Abschnitts zusammen.
Die Punkte des Würfels stehen für eine Menge, die häufig auf einen Blick erfasst werden kann. Die Felder im Eierkarton markieren die Position in der Reihe. Die Ziffern zeigen die symbolische Darstellung der Zahl. So wird sichtbar, dass Zahlen unabhängig von den Objekten gelten, die gezählt werden.
B. Praxis-Pool
Die vorangegangenen Abschnitte haben die verschiedenen Bedeutungen von Zahlen bewusst getrennt betrachtet. Diese ausführliche Analyse hilft uns Erwachsenen, die Struktur des Zahlverständnisses klarer zu erkennen. Zugleich wird sichtbar, wie komplex dieses Verständnis ist und wie viele Einsichten Kinder Schritt für Schritt erst entwickeln müssen.
Die Analyse trennt, was im Alltag zusammengehört.
Im Handeln der Kinder erscheinen diese Aspekte selten getrennt. Beim Spielen, Würfeln, Zählen, Vergleichen oder Bewegen greifen sie ineinander. Zahlen als Mengenbeschreibung und Zahlen als Positionsbestimmung werden nicht nacheinander gelernt wie in einem Lehrgang, sondern in konkreten Situationen gemeinsam erfahren.
Deshalb werden die folgenden Praxisbeispiele nicht noch einmal systematisch einzelnen Zahlaspekten zugeordnet. Die folgenden Praxisbeispiele zeigen, wie Kinder im Alltag mit Zahlen umgehen und wie sich dabei verschiedene Bedeutungen von Zahlen miteinander verbinden.
Weitere Praxisbeispiele, besonders aus bewegungsorientierten Settings, finden sich im Beitrag „Lernen durch Bewegung – Der Zahlenweg in der frühen mathematischen Bildung“.
Die Reise der Zahl
Welche Zahl hier auf die Reise geht, wissen wir nicht.
Die Kinder stehen oder sitzen in einem Kreis und halten sich an den Händen. Eine Zahl wird nicht gesprochen, sondern über Berührungen weitergegeben. Jeder Händedruck steht für eins.
Ein Kind beginnt und drückt seinem Nachbarn eine selbst gewählte Anzahl von Impulsen in die Hand, zum Beispiel zweimal hintereinander. Diese Zahl wird nun der Reihe nach weitergegeben, bis sie wieder beim Ausgangskind ankommt.
Ist es noch die ursprünglich versandte Zahl? Falls ja, ist alles gut. Falls nicht, stellt sich die Frage, an welcher Stelle sie verändert wurde. Die Kinder berichten anschließend, welche Zahl sie empfangen und welche sie weitergegeben haben.
Der Zahlbereich sollte an die Gruppe angepasst werden, zum Beispiel bis 5 oder bis 10. Zu Beginn empfiehlt es sich, mit kleinen Zahlen zu arbeiten und das Drücken und Empfangen kurz zu üben.
Hinweis
Falls das Spiel zu Beginn noch zu fehleranfällig sein sollte, kann die taktile Zahlwahrnehmung zunächst in Zweiergruppen geübt werden. Ein Kind schließt die Augen, während ein anderes ihm ein bis fünfmal auf die offene Hand oder auf den Rücken tippt.
Stimmt die gesendete Zahl mit der wahrgenommenen überein? Danach wird gewechselt.
Anzahlen erfühlen
Eine Anzahl wird ertastet, ohne gesehen zu werden.
Auch bei dieser Spielidee steht die Wahrnehmung von Zahlen über einen anderen Sinn im Mittelpunkt.
Mehrere gleiche Gegenstände, zum Beispiel größere Bohnen oder kleine Kieselsteine, werden in ein Säckchen gelegt oder unter ein Tuch auf den Tisch gelegt. Ein Kind nimmt mit geschlossenen oder locker verbundenen Augen eine Handvoll Gegenstände heraus und versucht nun zu ertasten, wie viele es in der Hand hält.
Gemeinsam mit einem mitspielenden Kind wird anschließend überprüft, ob die Einschätzung stimmt. Danach wird gewechselt.
Dieses Fühlspiel fördert die sinnliche Wahrnehmung von Mengen und die Vorstellung von Anzahlen. Es lässt sich auf unterschiedliche Weise variieren.
Eine Möglichkeit besteht darin, eine bestimmte Zahl vorzugeben, zum Beispiel drei oder vier. Das Kind versucht dann, diese Anzahl ohne hinzusehen aus dem Säckchen zu greifen. Gelingt dies mit einem einzigen Griff? Unterscheidet sich das Ergebnis zwischen linker und rechter Hand?
Eine andere Variante besteht darin, dass ein Kind einem anderen Kind mit geschlossenen Augen eine bestimmte Anzahl von Bohnen in die geöffnete Hand legt. Das Kind versucht zu erfühlen, wie viele es erhalten hat.
Werden beide Hände einbezogen, können bereits erste Additionen entstehen. Ein Kind erhält beispielsweise zwei Bohnen in die eine und drei in die andere Hand und versucht zu bestimmen, wie viele es insgesamt sind.
Auch einfache Subtraktionen sind möglich. Ein Kind weiß etwa, dass es fünf Bohnen in der Hand hält. Ein anderes nimmt zwei weg. Mit geschlossenen Augen versucht das Kind nun zu bestimmen, wie viele Bohnen noch übrig sind.
Ausgangspunkt bleibt jedoch die einfache Form des Spiels, das Erfühlen kleiner Anzahlen. Wenn Kinder Mengen bis fünf sicher ertasten können, ist dies bereits eine beachtliche Leistung.
Das Anzahlen-Geheimnis
Kinder vergleichen die Anzahlen in ihren Händen: Das passt!
Zur Vorbereitung werden Knöpfe, Centstücke, Bohnen oder Murmeln gesammelt. Die Gegenstände sollten gleich sein und sich problemlos in einer geschlossenen Kinderhand verstecken lassen.
Jedes Kind nimmt sich versteckt eine gewisse Anzahl der bereitgelegten Gegenstände in eine Hand. Die Anzahl sollte von der Fachkraft nach den aktuellen Kompetenzen der Kinder begrenzt werden, zum Beispiel maximal fünf.
Danach bewegen sich alle Kinder im Raum und versuchen möglichst unauffällig Zahlenpartner zu finden, also Kinder mit der gleichen Anzahl von Gegenständen in ihren Händen. Dazu müssen sie natürlich ihre Anzahlen vergleichen.
Es kann vereinbart werden, dass dabei nicht gesprochen wird. Die Kinder verständigen sich dann allein über Blickkontakt, Gesten oder durch kurzes Öffnen der Hände. Gerade diese stille Form des Vergleichens macht das Spiel besonders spannend.
Nach ausreichender Zeit und auf ein Signal hin finden sich alle Kinder mit den gleichen Anzahlen an einem zuvor vereinbarten Platz im Raum zusammen und vergleichen, was sie in ihren Händen halten.
Variationen
Das Spiel kann auf zwei Hände ausgedehnt werden, was allerdings deutlich schwieriger ist.
Oder die Anzahl der Gegenstände wird nicht von den Kindern selbst gewählt, sondern von der Fachkraft verdeckt in die Hände gegeben. Dadurch bleibt die Menge für alle geheim und die Suche nach passenden Partnern wird noch spannender.
Stifte kommen und gehen
Kinder geben Stifte entsprechend der gewürfelten Zahl weiter.
Alle Kinder sitzen im Kreis und halten zu Beginn die gleiche Anzahl an Farbstiften in der Hand. Auch Murmeln, Streichhölzer oder andere kleine Gegenstände sind möglich.
Ein Kind würfelt. Die Anzahl der Punkte bestimmt, wie viele Stifte dieses Kind an seinen rechten oder linken Nachbarn weitergibt. Danach würfelt das nächste Kind.
So wandern die Stifte nach und nach durch den Kreis. Die Mengen in der Hand eines Kindes verändern sich ständig. Manche Kinder haben plötzlich mehr, andere weniger.
Wer zuerst keine Stifte mehr in der Hand hat, gewinnt, auch wenn dabei kurzfristig negative Zahlen auftreten, weil mehr Stifte abgegeben werden müssen, als gerade vorhanden sind.
In der nächsten Runde darf das Kind beginnen, das zuvor die meisten Stifte sammeln musste.
Zahlengruppen bilden („Komm schnell zu uns, dann sind wir drei!“)
Kinder schließen sich zu Gruppen der aufgerufenen Zahl zusammen.
Das Spiel ist in Bewegungsspiel Sammlungen auch als Atomspiel bekannt. Im Folgenden wird es so genutzt, dass Kinder Zahlen als Größe einer Gruppe erleben.
Die Kinder bewegen sich frei im Raum und wandern durcheinander. Dabei achten sie auf das Signal der Fachkraft.
Diese ruft eine Zahl auf, zum Beispiel: „Drei!“ oder „Fünf!“. Daraufhin schließen sich die Kinder rasch zu Gruppen dieser Größe zusammen.
Wer keine passende Gruppe findet, bleibt nicht außen vor. Beim nächsten Durchgang kann dieses Kind die Rolle der Fachkraft übernehmen oder eine Jokerrolle spielen, zum Beispiel als Zählhilfe oder Ansager.
So bleibt jedes Kind aktiv beteiligt und erlebt, dass Zahlen zwar als abstrakte Impulse vorgegeben werden, ihre Bedeutung in diesem Spiel jedoch erst durch das gemeinsame Handeln konkret entsteht.
Wenn einzelne Kinder übrigbleiben, suchen sie nach Lösungen. Sie überlegen, welche Gruppen möglich gewesen wären („Zwei und drei ergeben zusammen fünf!“).
Solche Momente sind besonders wertvoll. Hier wird über Zahlen nachgedacht und miteinander darüber gesprochen. Sie wird sichtbar und regt zu Gesprächen darüber an.
Wichtig ist: In diesem Spiel gibt es keine Verlierer, sondern viele verschiedene Wege, Zahl zu erleben. Gerade die „unpassenden“ Situationen führen oft zu besonders lebendigen Gesprächen.
Wie viele Berührungen?
Der Würfel zeigt die Vier. Ein Kind berührt den Boden mit drei Körperteilen. Der vierte Berührpunkt fehlt noch.
Ein großer Würfel liegt in der Mitte des Raumes. Die Kinder bewegen sich darum herum und achten auf das Signal der Fachkraft. Die Fachkraft würfelt eine Zahl oder ruft sie. Die Aufgabe lautet: Berührt den Boden mit genau so vielen Körperteilen.
Die Kinder suchen passende Lösungen.
Bei der Eins könnte ein Kind auf einem Bein stehen.
Bei der Zwei berühren vielleicht beide Füße den Boden.
Bei der Drei könnten zwei Hände und ein Fuß den Boden berühren.
Bei der Vier entsteht der Vierfüßlerstand.
Bei der Fünf kommen weitere Körperteile hinzu, zum Beispiel beide Hände, beide Füße und das Gesäß.
Bei der Sechs könnten zusätzlich noch die Knie den Boden berühren.
Gelegentlich kann auch die Null ins Spiel kommen. Sie wird nicht gewürfelt, sondern von der Fachkraft angekündigt. Dazu hält sie den Würfel kurz in die Luft und ruft: „Null!“. Dann berührt kein Körperteil den Boden. Die Kinder springen für einen kurzen Moment in die Luft.
Das Spiel lässt sich auch zu zweit spielen. Dann überlegen die Kinder gemeinsam, wie viele Berührpunkte sie zusammen herstellen können.
Für ältere oder geübtere Kinder kann das Spiel anspruchsvoller gestaltet werden. Dann werden zwei Würfel verwendet, zum Beispiel zwei Sechserwürfel oder ein Sechser- und ein Dreierwürfel. Die Kinder überlegen gemeinsam, wie viele Berührpunkte sie zusammen erreichen müssen.
So werden Zahlen unmittelbar erfahrbar. Die Kinder spüren mit dem eigenen Körper, was eine Anzahl bedeutet, und entdecken unterschiedliche Möglichkeiten, dieselbe Zahl darzustellen.
Manchmal entsteht etwas Unerwartetes
Im Rahmen dieses Moduls wurden viele Spielideen aufgegriffen, die in der Literatur zur frühen mathematischen Bildung beschrieben sind. Sie werden hier nicht im Einzelnen dargestellt. Stattdessen wird eine einfache Situation herausgegriffen, an der sich exemplarisch zeigen lässt, wie Kinder mit Zahlen arbeiten.
Eine dieser Ideen war es, Zahlenstreifen mit einzelnen Lücken auszulegen und Wäscheklammern bereitzulegen, mit denen Kinder den fehlenden Platz markieren können. Die Aufgabe ist dabei unspektakulär: Die Kinder setzen eine Klammer an die Stelle, an der ihrer Meinung nach eine bestimmte Zahl stehen müsste, oder sie suchen die Zahl, die zu einer markierten Position passt. Die Lücke lädt zum Nachdenken ein: „Was fehlt hier?“
Die Materialien lagen frei auf dem Tisch und wurden von den Kindern immer wieder aufgegriffen. Sie arbeiteten allein, zu zweit oder in kleinen Gruppen, setzten Klammern, prüften ihre Vermutungen und verglichen ihre Lösungen. Auffällig war, mit welcher Begeisterung die Kinder bei der Sache waren. Zahlen faszinieren viele Kinder, besonders dann, wenn sie selbst handeln, ausprobieren und vergleichen können.
Nicht alles muss geplant sein.
Besonders interessant waren Beobachtungen, die so nicht geplant waren. In dem hier exemplarisch gezeigten Beispiel begann ein Kind, mehrere Wäscheklammern hintereinander anzustecken. Nach und nach entstand daraus eine fortlaufende ordinale Reihe, eine Zahlenreihe.
In gewisser Hinsicht sind wir damit am Ziel angekommen. Wenn Kinder beginnen, selbst weiterzudenken, zu ordnen, zu vergleichen und zu erweitern, entsteht aus einer einfachen Idee eine eigene Entdeckung, die mit anderen geteilt wird. Solche Momente entstehen jedoch nicht zufällig. Sie wachsen aus vorbereiteten Situationen und aus fachlich begleiteten Interaktionen mit den Kindern. Wissen entsteht so im Handeln der Kinder.
C. Exemplarische Verdichtung der Beobachtungen
Viele Materialien im Kindergarten sind zunächst nicht ausdrücklich für mathematische Fragestellungen gedacht. Sie laden zum Legen, Ordnen oder Gestalten ein. Mit wachsender Aufmerksamkeit für mathematische Aspekte verändert sich jedoch der Blick darauf. Plötzlich werden Fragen sichtbar, die zuvor im Handeln der Kinder nicht entstanden waren:
Wie viele Teile liegen schon?
Wie viele fehlen noch?
Wer ist der Erste, wer der Zweite?
Das Material bleibt gleich. Doch der Blick darauf hat sich verändert.
In einer ersten Situation arbeiten zwei Kinder gemeinsam mit einem Legespiel. Formen und Farben werden aufgenommen, verglichen und passend angeordnet.
Dabei entsteht eine erste mathematische Frage ganz selbstverständlich: Wie viele Teile liegen schon?
Kinder beginnen zu zählen, vergleichen Mengen und prüfen, ob etwas fehlt oder zu viel ist. Zahlen erscheinen hier zunächst als Anzahl von Elementen einer Menge.
In einer weiteren Situation arbeiten zwei Kinder gleichzeitig an zwei unterschiedlichen Kugelbrettern. Die vorgegebenen Karten zeigen verschiedene Muster. Die Kinder vergleichen ihre eigenen Anordnungen mit der Vorlage und verändern einzelne Elemente.
Zunehmend richten sie ihre Aufmerksamkeit nicht mehr nur auf einzelne Farben oder Formen. Elemente werden gezählt, Plätze überprüft und Reihen vervollständigt. Die Kinder prüfen:
Stimmt die Anzahl? Fehlt noch etwas?
In einer anderen Situation beschäftigt sich ein Kind mit unterschiedlich großen Holzbögen. Einige Bögen werden ineinander gestellt, andere danebengelegt. Noch entsteht keine feste Ordnung. Beim Vergleichen und Ausprobieren richtet sich die Aufmerksamkeit zunehmend auf die Größe der Bögen.
Das Kind prüft, welcher Bogen größer oder kleiner ist und wie sich die Formen zueinander ordnen lassen. So werden verschiedene Bedeutungen von Zahlen sichtbar. Einerseits „wie viele“, andererseits beginnen auch Reihen und Plätze eine Rolle zu spielen.
In solchen Situationen werden die fünf didaktischen Prinzipien der Fortbildungsreihe sichtbar: Interaktion im gemeinsamen Arbeiten, Ganzheitlichkeit durch das Zusammenspiel von Wahrnehmung, Handlung und Sprache, Wiederholung durch das erneute Aufgreifen vertrauter Spiel- und Handlungssituationen, Partizipation durch eigene Lösungen der Kinder und Inklusion durch unterschiedliche Zugänge zum gleichen Gegenstand.
Gleichzeitig wird sichtbar, dass ein tragfähiger Zahlbegriff mehr ist als eine schulische Vorbereitung. Zahlen helfen Kindern, ihre Umwelt zu ordnen und Zusammenhänge in der Welt besser zu verstehen. In diesem Sinn trägt frühe mathematische Bildung, hier am Beispiel des kardinalen und ordinalen Zahlverständnisses erläutert, zum Weltverstehen bei.
D. Fortbildung: Reflexionen der Einrichtungen
Die Fortbildung fand erneut im üblichen Rahmen statt. Eine der beteiligten Einrichtungen stellte ihre Erfahrungen mit dem Modul vor. In diesem Fall war es eine einzelne Fachkraft, die die Beobachtungen aus ihrer Einrichtung zusammengetragen und im Kreis der Teilnehmenden vorgestellt hat.
Für die Präsentation hatte sie zahlreiche Materialien vorbereitet und verschiedene Spielsituationen dokumentiert. Besonders überrascht war sie darüber, wie stark sich die Kinder für die Zahlen selbst interessierten. Sie hatte zwar erwartet, dass einzelne Spiele gut aufgenommen würden, nicht jedoch, dass sich daraus eine so große Begeisterung für das Thema entwickelte.
Ein besonderes Highlight war für sie das Spiel „Alles oder nichts“. Dabei beobachtete sie eine Entwicklung, die ihr zuvor nicht bewusst gewesen war. Zu Beginn wechselten die Kinder bei einer gewürfelten Drei jedes Mal genau drei einzelne Gegenstände auf die andere Seite. Sie zählten dabei sorgfältig: eins, zwei, drei.
Nach mehreren Spielrunden veränderte sich das Vorgehen. Die Kinder nahmen die drei Elemente nun häufig mit einem einzigen Griff auf. Die Menge wurde nicht mehr einzeln abgezählt, sondern als zusammengehörige Anzahl erfasst.
Im anschließenden Gespräch wurde diese Beobachtung gemeinsam aufgegriffen.
Fachkraft:
Am Anfang haben sie wirklich jedes Teil einzeln gezählt. Eins, zwei, drei. Ganz genau.
Teilnehmende Fachkraft:
Und später?
Fachkraft:
Später haben einige Kinder einfach drei auf einmal genommen. Ohne vorher zu zählen.
Teilnehmende Fachkraft:
Woran könnten sie erkannt haben, dass es drei sind?
Fachkraft:
Vielleicht daran, wie sich die Menge in der Hand anfühlt.
Eine andere Fachkraft ergänzt:
Oder sie haben das Bild der Drei schon im Kopf.
Die erste Fachkraft nickt:
Ja, genau. Es wirkte so, als würden sie die Drei als Ganzes erkennen. Ein Kind sagte sogar sinngemäß: „‚Hin und Her‘ und ‚Alles oder nichts‘, das ist doch das gleiche Spiel.“ Das war schon ein besonderer Moment.
Gemeinsam wurde darüber nachgedacht, wie sich in solchen Momenten das Verständnis von Zahl verändert. Aus dem einzelnen Abzählen entwickelt sich nach und nach ein Erfassen von Mengen als zusammengehörige Einheit.
Gerade solche Beobachtungen machten in der Fortbildung deutlich, wie sich mathematisches Denken im Spiel der Kinder entfaltet und wie wichtig es ist, diese Prozesse gemeinsam wahrzunehmen und zu besprechen.
Wie es weitergeht: Modul 5
Zahlaspekte: mehr als Zählen und Reihen
Auf der Grundlage der bisher beschriebenen Erfahrungen entwickeln Kinder mit zunehmender Sicherheit weitere Bedeutungen von Zahlen, die in Modul 5 vertieft werden.
Dazu gehören
• der relationale Zahlaspekt, wenn Kinder Zahlen miteinander vergleichen („fünf ist mehr als drei“),
• der operatorische Zahlaspekt, wenn Zahlen als Handlung verstanden werden („zwei dazu“ oder „eines wegnehmen“),
• und der Maßzahlaspekt, wenn Zahlen genutzt werden, um Größen und Einheiten zu bestimmen („zwei Meter“, „drei Tage“).
Diese Vielfalt macht deutlich: Zahl ist kein einzelner Begriff, sondern ein Gefüge unterschiedlicher Bedeutungen. Kinder müssen die verschiedenen Perspektiven auf Zahlen erleben, sprachlich unterscheiden und miteinander verknüpfen. Erst dann entsteht ein flexibles und tragfähiges Zahlverständnis.
Damit wird sichtbar, dass mathematisches Denken kein isoliertes Fachwissen ist, sondern ein Prozess des Weltverstehens. Zahl entsteht im Zusammenspiel von Handlung, Sprache und Struktur.
Darüber hinaus zeigen neuere didaktische Ansätze, dass Zahlen auch in kulturellen und ästhetischen Zusammenhängen Gestalt annehmen können. Ein narrativer Zugang macht Zahlen in Geschichten und sprachlichen Bildern erfahrbar („sieben Zwerge“, „dreimal darfst du raten“). Ein musikalischer Zugang lässt Zahlen als Ordnungsprinzip von Rhythmus, Takt und Intervallen erkennen.
Solche Perspektiven erweitern den Blick auf Zahlen. Sie zeigen, dass Zahlen nicht nur zum Rechnen dienen, sondern auch Teil von Sprache, Kultur und Wahrnehmung sind.
Weiterführende Artikel auf Erzieherin.de:
Komm mit ins Zahlenland – beliebt und gerne missverstanden
Lernen durch Bewegung – Der Zahlenweg in der frühen mathematischen Bildung
Frühe mathematische Bildung braucht Praxis: Der Auftakt einer kollegialen Fortbildungsreihe
Modul 2: Formen, Muster und Symmetrien entdecken, erfinden und gemeinsam hervorbringen
Dieses Bildungsprojekt wird in Kooperation mit dem Herder Verlag, Wehrfritz und der Stadt Herbolzheim umgesetzt.
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Autor*innengruppe:
Priv. Doz. Dr. habil. Gerhard Friedrich und die Erzieherin Birgit Kuri
Kontakt:
info.gfriedrich@gmail.com
https://www.linkedin.com/in/gerhard-friedrich-7bb6b9383/
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